Математика для гуманітаріїв 11

1. Завдання №1. Розбираємося зі шкільної формулою
2. Завдання №2. урочисте тотожність

Продовжуємо уроки математики від професора Неллі Литвак. Минулого разу ми говорили про математичному підставі вакцинації, математики та чисельності популяцій, і, сподіваємося, все засвоїли, навіщо нам потрібні ступеня і логарифми. Сьогодні нам належить нове знайомство з синусом і косинусом, а ще ми дізнаємося, чому математикам потрібно вміти здаватися.

Популяризація тригонометрії в інтернет-спільнотах.

(Джерело: pikabu.ru ) Нагадаємо, в групі «Математика - велика і жахлива!» Неллі разом з журналістом Аллою Кечеджан допомагають дорослим гуманітаріям освоїти велику і жахливу науку «з нуля». А на сайті Newtonew публікації з групи з обговореннями зібрані у вигляді уроків, щоб їх не поглинув океан соцмереж. Всі попередні заняття можна знайти тут .

Передаємо слово професору.

Що ж таке ці синуси і косинуси? Що вони означають і навіщо вони потрібні?

Уявіть собі коло радіуса 1 з центром на початку координат, як на малюнку 1.

Малюнок 1.

Тепер давайте візьмемо точку (1,0) і повернемо цю точку проти годинникової стрілки на якийсь кут, скажімо, 50 градусів, як на малюнку 2.

Малюнок 2.

Чому проти годинникової стрілки? Тому що ми так домовилися: кут обертання збільшується проти годинникової стрілки. Точно так же, як координата х збільшується зліва направо, а координата у - від низу до верху. Не обов'язково кут 50 градусів, давайте візьмемо будь-який кут, назвемо його великої і жахливої грецькою буквою альфа, як на малюнку 3. Альфа у нас буде будь-яким кутом від 0 до 360 градусів проти годинникової стрілки.

Малюнок 3.

Вийшла точка, на малюнку 3 я її обвела червоним кольором. Ми точно знаємо, де вона знаходиться і як її знайти: треба тільки повернутися на кут альфа градусів по колу проти годинникової стрілки.

І оскільки ця точка на площині, то у неї є координата х і координата у, на малюнку 3 я написала (х, у). І ось математики задаються питанням: якщо ми все знаємо про цю точку, то які у неї координати х і у? А?

Навіть якщо ми знаємо кут альфа, то ми просто не в змозі підрахувати координати цієї точки! У нас для цього немає формули! В університеті на курсі аналізу з'ясовується, що формула все-таки є. Вона називається «ряд Тейлора». Але в ній нескінченне число доданків. А простий короткою формули немає.

У подібній ситуації математики використовують прийом, який Джейсон Вілкес в книзі «Спаліть клас математики» називає «Мистецтво здатися».

Я не дочув: мистецтво здатися ???

(Джерело: cdn.pixabay.com )

Якщо для якогось об'єкта немає формули, то ми просто вигадуємо назву для цього об'єкта. Бажано, звичайно, назва велике і жахливе. Щоб ніхто не здогадався про наш безсиллі.

Ось так. Оскільки ми не можемо підрахувати координати х і у, то ми назвемо координату х косинусом кута альфа, а координату у - синусом кута альфа. Як на малюнку 4. Це синус і косинус. І все. І більше нічого!

Синус і косинус - всього лише координати точки на колі з радіусом 1.

Малюнок 4.

Завдання №1. Розбираємося зі шкільної формулою

Може здатися дивним, але «мистецтво здатися» математиків повністю влаштовує. Адже найголовніше в математиці - з'ясовувати закономірності. Для цього нам потрібно тільки знати, що означають синус і косинус. Ми домовилися, що це координати точки на колі радіуса 1. І цього досить, щоб з'ясувати закономірності, пов'язані з синусом, косинусом, окружністю і обертанням.

Саме про це буде завдання. Давайте розберемося в одній зі шкільних формул.

ЗАВДАННЯ. Щоб отримати поворот на кут (90 + альфа) градусів, потрібно спочатку повернутися проти годинникової стрілки на 90 градусів, а потім ще на альфа градусів, див. Малюнок 5. Поясніть, чому:

cos (90 + alpha) = - sin (alpha) sin (90 + alpha) = cos (alpha).

Формули написані на малюнку 5. Удачи!

Малюнок 5.

До речі, рекомендую почитати обговорення цього завдання в групі. Я сама дізналася багато нового. Подивіться коментарі, там є чудова інтерпретація з хордами і історія походження слова «синус»!

Тригонометрична церемонія в престижному жіночому коледжі Вассара, США, 1889.

(Джерело: math.vassar.edu )

Завдання №2. урочисте тотожність

Як ми зрозуміли, підрахувати синус і косинус за формулою можна. Зате між ними можна встановлювати зв'язки. Сьогодні ми поговоримо про одну такого зв'язку.

На малюнку 6 я намалювала коло, кут альфа, синус і косинус. Який зв'язок між синусом і косинусом? Ну, наприклад, така (див. Внизу малюнка):

[синус альфа в квадраті] + [косинус альфа в квадраті] = 1

Малюнок 6. Внизу - основне тригонометричну тотожність.

У формулі квадрат (маленька двійка нагорі) ставиться після sin, а не після альфа, щоб було зрозуміло, що ми зводимо в квадрат синус, а не кут.

Це рівність в школі називають основне тригонометричну тотожність. Звучить дуже урочисто. Але подивіться уважно: цей прямокутний трикутник і ці квадрати нічого вам не нагадують?

ЗАВДАННЯ. Поясніть, чому [синус альфа в квадраті] + [косинус альфа в квадраті] = 1. Зауважте, що рівність вірно для будь-яких кутів. Для прикладу я намалювала тупий кут на малюнку 7.

Малюнок 7.

Вийшло? Тепер ми можемо підрахувати синус і косинус 45 градусів, див. Малюнок 8.

Малюнок 8.

Пояснення до цього завдання можна знайти тут .

А ось до чого разу я приготую вам ще дещо велике і жахливе.

Знайшли друкарську помилку? Виділіть фрагмент і натисніть Ctrl + Enter.